Skirtumas tarp tiesinių ir netiesinių diferencialinių lygčių

Tiesinės vs netiesinės diferencialinės lygtys
 

Lygtis, kurioje yra bent vienas diferencialo koeficientas arba nežinomo kintamojo darinys, yra žinoma kaip diferencialinė lygtis. Diferencialinė lygtis gali būti tiesinė arba netiesinė. Šio straipsnio tikslas yra paaiškinti, kas yra tiesinė diferencialinė lygtis, kas yra netiesinė diferencialinė lygtis ir koks yra skirtumas tarp tiesinių ir netiesinių diferencialinių lygčių..

Nuo to laiko, kai matematikai, kaip Niutonas ir Leibnitzas, sukūrė skaičiavimą 18 amžiuje, diferencialinė lygtis vaidino svarbų vaidmenį matematikos istorijoje. Diferencialinės lygtys yra labai svarbios matematikoje dėl jų taikymo spektro. Diferencialinės lygtys yra kiekvieno modelio, kurį kuriameime, pagrindas - paaiškinti bet kurį scenarijų ar įvykį pasaulyje, nesvarbu, ar tai fizika, inžinerija, chemija, statistika, finansinė analizė ar biologija (sąrašas begalinis). Tiesą sakant, kol skaičiavimas netapo nusistovėjusia teorija, tinkamų matematikos priemonių nebuvo galima naudoti įdomioms gamtos problemoms analizuoti.

Konkretaus skaičiavimo taikymo lygtys gali būti labai sudėtingos ir kartais neišsprendžiamos. Tačiau yra ir tokių, kuriuos galime išspręsti, tačiau jie gali atrodyti panašūs ir painūs. Todėl, norint lengviau identifikuoti, diferencialinės lygtys skirstomos į kategorijas pagal jų matematinį elgesį. Tiesinė ir netiesinė yra viena iš tokių kategorijų. Svarbu nustatyti skirtumą tarp tiesinių ir netiesinių diferencialinių lygčių.

Kas yra tiesinė diferencialinė lygtis?

Tarkime, kad f: X → Y ir f (x) = y, a diferencialinė lygtis be nežinomos funkcijos netiesinių terminų y o jo dariniai žinomi kaip tiesinė diferencialinė lygtis.

Tai nustato sąlygą, kad y negali turėti aukštesnių indeksų terminų, tokių kaip y², y³,... ir darinių, tokių kaip 

Jame taip pat negali būti netiesinių terminų, tokių kaip Sin y, e^{y^ -2}, arba ln y. Tai įgauna formą, 

kur y ir g yra funkcijos x. Lygtis yra diferencialo lygtis n, kuris yra aukščiausio laipsnio darinio indeksas.

Tiesinėje diferencialinėje lygtyje diferencialinis operatorius yra tiesinis operatorius, o sprendimai sudaro vektorinę erdvę. Dėl linijinio sprendimų rinkinio pobūdžio linijinis tirpalų derinys taip pat yra diferencialinės lygties sprendimas. Tai yra, jei y₁ ir y₂ yra diferencialinės lygties sprendimai, tada C₁ y₁+ C₂ y₂ taip pat yra sprendimas.

Lygties tiesiškumas yra tik vienas klasifikavimo parametras, ir ją dar galima suskirstyti į homogenines arba nehomogeniškas ir paprastąsias ar dalines diferencialines lygtis. Jei funkcija yra g= 0, tada lygtis yra linijinė vienalytė diferencialinė lygtis. Jei f yra dviejų ar daugiau nepriklausomų kintamųjų funkcija (f: X, T → Y) ir f (x, t) = y , tada lygtis yra tiesinė dalinė diferencialinė lygtis.

Diferencialinės lygties sprendimo metodas priklauso nuo diferencialinės lygties rūšies ir koeficientų. Paprasčiausias atvejis yra tada, kai koeficientai yra pastovūs. Klasikinis šios bylos pavyzdys yra antrasis Niutono judesio dėsnis ir įvairūs jo pritaikymai. Antrasis Niutono dėsnis sukuria antros eilės tiesinę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais.

Kas yra netiesinė diferencialinė lygtis?

Lygtys, kuriose yra netiesinių terminų, yra žinomos kaip netiesinės diferencialinės lygtys.

 

Aukščiau pateiktos netiesinės diferencialinės lygtys. Netiesines diferencialines lygtis sunku išspręsti, todėl norint atlikti teisingą sprendimą, reikia atlikti išsamų tyrimą. Dalinių diferencialinių lygčių atveju dauguma lygčių neturi bendro sprendimo. Todėl kiekviena lygtis turi būti traktuojama atskirai.

Navier-Stokes ir Eulerio lygtis skysčių dinamikoje, Einšteino bendrosios reliatyvumo lauko lygtys yra gerai žinomos netiesinės dalinės diferencialinės lygtys. Kartais, pritaikius Lagrange'o lygtį kintamajai sistemai, gali susidaryti netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sistema.

Kuo skiriasi tiesinės ir netiesinės diferencialinės lygtys?

• Diferencialinė lygtis, kurioje yra tik nežinomo ar priklausomo kintamojo ir jo darinių tiesinės sąvokos, yra žinoma kaip linijinė diferencialinė lygtis. Jis neturi termino, kurio priklausomas indekso kintamasis yra didesnis nei 1, ir neturi jo išvestinių kartotinių. Priklausomo kintamojo atžvilgiu ji negali turėti netiesinių funkcijų, tokių kaip trigonometrinės, eksponentinės ir logaritminės funkcijos. Bet kuri diferencialinė lygtis, kurioje yra aukščiau paminėti terminai, yra netiesinė diferencialinė lygtis.

• Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimai sukuria vektorinę erdvę, o diferencialinis operatorius taip pat yra linijinis vektoriaus erdvės operatorius.

• Linijinių diferencialinių lygčių sprendimai yra palyginti lengvesni ir egzistuoja bendrieji sprendimai. Netiesinėms lygtims daugeliu atvejų bendras sprendimas neegzistuoja ir sprendimas gali būti konkrečios problemos sprendimas. Dėl to sprendimas yra daug sudėtingesnis nei tiesinės lygtys.