Skirtumas tarp stačiakampio ir ortonorminio

Stačiakampis vs Ortonormalus

Matematikoje du žodžiai ortogonalūs ir ortonormalūs dažnai naudojami kartu su vektorių rinkiniu. Čia terminas „vektorius“ vartojamas ta prasme, kad tai yra vektorinės erdvės elementas - algebrinė struktūra, naudojama linijinėje algebroje. Diskusijai mes apsvarstysime produkto vidinę erdvę - vektorinę erdvę V kartu su vidiniu gaminiu [] apibrėžta V.

Kaip pavyzdį, vidinio produkto erdvė yra visų trijų matmenų padėties vektorių rinkinys kartu su įprastu taškiniu sandauga.

Kas yra stačiakampė?

Nešventinis pogrupis S vidinės produkto erdvės V sakoma, kad ji yra stačiakampė, jei ir tik jei kiekviena savitas u, v į S, [u, v] = 0; t.y. vidinis produktas u ir v yra lygus nuliniam skaliarui vidinėje produkto erdvėje.

Pavyzdžiui, visų trijų matmenų padėties vektorių rinkinyje tai prilygsta teiginiui, kad kiekvienai atskirai padėties vektorių porai p ir q į S, p ir q yra statmenos viena kitai. (Atminkite, kad vidinis produktas šioje vektorių erdvėje yra taškinis sandauga. Be to, dviejų vektorių taškinis sandauga yra lygus 0 tada ir tik tada, jei abu vektoriai yra statmeni vienas kitam.)

Apsvarstykite rinkinį S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), kuris yra trimatės padėties vektorių pogrupis. Atkreipkite dėmesį, kad (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 ir (0,2,0).(0,0,5) = 0. Vadinasi, rinkinys S yra stačiakampė. Konkrečiai sakoma, kad du vektoriai yra stačiakampiai, jei jų vidinis sandauga yra 0. Todėl kiekviena vektorių pora yra Syra stačiakampė.

Kas yra ortonormalus?

Nešventinis pogrupis S vidinės produkto erdvės V Teigiama, kad ortonormalus tada ir tik tada S yra stačiakampė ir kiekvienam vektoriui u į S, [u, u] = 1. Todėl galima pastebėti, kad kiekvienas ortonormalus rinkinys yra stačiakampis, bet ne atvirkščiai.

Pavyzdžiui, visų trijų matmenų padėties vektorių rinkinyje tai prilygsta teiginiui, kad kiekvienai atskirai padėties vektorių porai p ir q į S, p ir q yra statmenos viena kitai ir kiekvienai p į S, | p | = 1. Taip yra todėl, kad būklė [p, p] = 1 sumažėja iki p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, kuris yra lygus | p | = 1. Taigi, atsižvelgiant į stačiakampį aibę, mes visada galime sudaryti atitinkamą ortonorminį aibę, padalijant kiekvieną vektorių iš jo didumo.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) yra ortonormalus visų trijų matmenų padėties vektorių aibės pogrupis. Nesunku pastebėti, kad jis buvo gautas padalijus kiekvieną iš vektorių rinkinyje S, pagal jų dydį.

Kuo skiriasi stačiakampis ir ortonormalus?

• Nešventinis pogrupis S vidinės produkto erdvės V sakoma, kad ji yra stačiakampė, jei ir tik jei kiekviena atskira u, v į S, [u, v] = 0. Tačiau tai yra ortonormalus, jei ir tik tada, jei kiekvienam vektoriui yra papildoma sąlyga u į S, [u, u] = 1 patenkintas.
• Bet koks ortonormalus rinkinys yra stačiakampis, bet ne atvirkščiai.
• Bet kuris stačiakampis rinkinys atitinka unikalų ortonorminį rinkinį, tačiau ortonormalus rinkinys gali atitikti daugelį ortogonalių rinkinių.