Skirtumas tarp „Power“ ir „Taylor“ serijų

„Power Series“ vs „Taylor“ serija

Matematikoje tikroji seka yra eilinis realiųjų skaičių sąrašas. Formaliai tai yra funkcija nuo natūraliųjų skaičių aibės iki realiųjų skaičių aibės. Jei a_nyra n^tūkst sekos terminas, mes žymime seką arba a₁, a₂,…, A_n,… .Pavyzdžiui, apsvarstykite seką 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,... Jis gali būti žymimas kaip 1 / n.

Galima apibrėžti eiles naudojant sekas. Serija yra sekos sąlygų suma. Todėl kiekvienai sekai yra susijusi seka ir atvirkščiai. Jeigu_n yra nagrinėjama seka, tada tos sekos suformuotas eiles galima pavaizduoti taip:                                           

 Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje susijusi serija yra 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_n +… . 

Kaip rodo pavadinimai, galios eilutės yra specialus serijų tipas ir yra plačiai naudojamos skaitinei analizei ir susijusiam matematiniam modeliavimui. „Taylor“ serija yra speciali galios serija, kuri suteikia alternatyvų ir lengvai manipuliuojamą žinomų funkcijų vaizdavimo būdą.

Kas yra „Power“ serija?

Galios serija yra formos serija

    

kuris yra supanašėjęs (galbūt) tam tikru intervalu, kurio centras yra c. Koeficientai a_n gali būti realieji arba sudėtingieji skaičiai ir yra nepriklausomi nuo x; t.y. manekeno kintamasis.

Pavyzdžiui, nustatant a_n= 1 kiekvienam n, ir c = 0, galios seka 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Yra gautas. Nesunku pastebėti, kad kai x ε (-1,1), ši galios seka suartėja iki 1 / (1-x)..          

Galios serija suartėja, kai x = c. Kitos vertybės x kurių galios serijos suartėja, visada bus atvirojo intervalo, kurio centras yra c. Tai yra, bus vertė 0≤ R ≤ ∞ toks kad kiekvienam x tenkinanti | x-c | ≤R, galios serija yra suartinanti ir kiekvienai x  patenkina | x-c |>R, galios seka skiriasi. Ši vertė R vadinamas galios eilučių konvergencijos spinduliu (R gali turėti bet kokią tikrąją vertę ar teigiamą begalybę).

Galios eilutes galima sudėti, atimti, padauginti ir padalyti naudojant šias taisykles. Apsvarstykite dvi galios eiles:       

   

                               .

Tada,                 

t.y. pvz., terminai pridedami arba atimami kartu. Taip pat galima padauginti ir padalyti dvi galios eilutes pagal tapatumą,

Kas yra Taylor serija?

Funkcijai apibrėžta Taylor serija f(x) kuris yra be galo diferencijuojamas tam tikru intervalu. Tarkime f(x) yra diferencijuojamas per intervalą, kurio centras yra c. Tada galios seka, kurią suteikia

                                                                                                                                

vadinamas Taylor serijos funkcijos išplėtimu f(x) apie c. (Čia f⁽ⁿ⁾(c) Žymi n^tūkst darinys prie x = c). Skaitmeninėje analizėje skaičiuojant reikšmes taškuose, kur eilutė suartėja su pradine funkcija, naudojamas begalinis terminų skaičius šiame begaliniame išplėtime..

Funkcija f(x) tariama kaip analitinė intervale (a, b), jei kiekvienai x ε (a, b) Taylor serija f(x) suartėja su funkcija f(x). Pavyzdžiui, 1 / (1-x) yra analitinis ant (-1,1), nes jo Taylor išplėtimas 1 + x + x²+… + Xⁿ+... suartėja su tuo intervalu, ir e^x  yra analitinis visur, nes Taylor serija e^xsuartėja su e^x už kiekvieną tikrąjį skaičių x.

Kuo skiriasi „Power“ serijos ir „Taylor“ serijos?

1. „Taylor“ serija yra speciali galios sekų klasė, apibrėžta tik toms funkcijoms, kurios yra be galo skirtingos tam tikru atviru intervalu.

2. „Taylor“ serijos įgauna ypatingą formą

        

kadangi galios seka gali būti bet kokia formos seka