Skirtumas tarp neapibrėžtųjų ir neapibrėžtųjų integralų

Kalkulis yra svarbi matematikos šaka, o diferenciacija vaidina kritinį vaidmenį skaičiuojant. Atvirkštinis diferenciacijos procesas yra žinomas kaip integracija, o atvirkštinis - kaip integralas, arba paprasčiau tariant, diferenciacijos atvirkštinis procesas suteikia integralą. Remiantis gautais rezultatais, integralai yra padalijami į dvi klases, ty neapibrėžtuosius ir neapibrėžtuosius.

Neabejotinas vientisumas

Neabejotinas integralas f (x) yra NUMERIS ir žymi plotą po kreivės f (x) iš x = a į x = b.

Neabejotinas integralas turi viršutines ir apatines integralo ribas, ir jis vadinamas apibrėžtu, nes problemos pabaigoje mes turime skaičių - tai yra aiškus atsakymas.

Neapibrėžtas integralas

Neapibrėžtas f (x) integralas yra FUNKCIJA ir atsako į klausimą: „Kokia funkcija, kai diferencijuota f (x)?“

Su neapibrėžtu integralu čia nėra viršutinės ir apatinės integralo ribos, ir mes gausime atsakymą, kurį vis dar turime xyra jame ir taip pat turės konstantą (paprastai žymimą C) jame.

Neapibrėžtasis integralas paprastai pateikia bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Neapibrėžtasis integralas yra labiau bendroji integracijos forma ir gali būti aiškinamas kaip nagrinėjamos funkcijos anti-darinys..

Tarkime, kad diferencijuojama funkcija F veda prie kitos funkcijos f, o f integracija suteikia integralą. Simboliška, kad tai parašyta

F (x) = ∫ƒ (x) dx

arba

F = ∫ƒ dx

kur abu F ir ƒ yra funkcijos x, ir F yra diferencijuojamas. Aukščiau pateiktoje formoje jis vadinamas Reimanno integralu, o gauta funkcija lydi savavališką konstantą.

Neapibrėžtas integralas dažnai sukuria funkcijų šeimą; todėl integralas yra neribotas.

Diferencialinės lygtys sprendžiamos integralais ir integracijos procesu. Tačiau skirtingai nei diferencijavimo žingsniai, integracijos žingsniai ne visada vyksta aiškiai ir standartiškai. Kartais matome, kad sprendimas negali būti aiškiai išreikštas elementariųjų funkcijų atžvilgiu. Tokiu atveju analizinis tirpalas dažnai pateikiamas neapibrėžto integralo pavidalu.

Pagrindinė skaičiavimo teorema

Apibrėžtąjį ir neapibrėžtąjį integralą pagrindinė kalkulio teorema sieja taip: Norint apskaičiuoti a neabejotinas integralas, Surask neterminuotas integralas (taip pat žinomas kaip anti-darinys) funkcijos ir įvertinti galiniuose taškuose x = a ir x = b.

Skirtumas tarp neapibrėžtųjų ir neapibrėžtųjų integralų bus akivaizdus, ​​kai įvertinsime tos pačios funkcijos integralus.

Apsvarstykite šį integralą:

GERAI. Padarykime abu ir pamatykime skirtumą.

Norėdami integruotis, turime jį pridėti prie rodyklės, kuri mus priveda prie šios išraiškos:

Šiuo metu C mums yra tik konstanta. Norint nustatyti tikslią. Reikšmę, reikalinga papildoma informacija C.

Įvertinkime tą patį integralą apibrėžta forma, t. Y., Įtraukus viršutinę ir apatinę ribas.

Grafiškai kalbant, dabar mes apskaičiuojame plotą po kreivės f (x) = y³ tarp y = 2 ir y = 3.

Pirmasis šio vertinimo žingsnis yra tas pats, kas neribotas integralo vertinimas. Skirtumas tik tas, kad šį kartą prie konstantos nepridedame C.

Išraiška šiuo atveju atrodo taip:

Tai savo ruožtu lemia:

Iš esmės mes išraišką pakeitėme 3, o tada 2 ir gavome skirtumą tarp jų.

Tai yra neabejotina reikšmė, o ne konstanta C anksčiau.

Panagrinėkime pastovųjį faktorių (neapibrėžtojo integralo atžvilgiu) dar detaliau.

Jei skirtumas y³ yra 3 metai², tada

∫3 metai²dy = y³

Vis dėlto, 3 metai² galėtų būti daugelio posakių, iš kurių kai kurie apima, diferencialas y³-5, y³+7, ir tt ... Tai reiškia, kad atbulinė eiga nėra unikali, nes operacijos metu konstanta yra neatsižvelgiama.

Taigi apskritai, 3 metai² yra diferencialas y³+C kur C yra bet kokia konstanta. Beje, C yra žinomas kaip 'integracijos konstanta'.

Mes rašome taip:

∫ 3 metai².dx = y³ + C

Neapibrėžto integralo integravimo būdai, tokie kaip lentelių peržiūra ar Risch integracija, gali pridėti naujų pertraukimų integracijos proceso metu. Šie nauji netolygumai atsiranda todėl, kad anti-dariniams gali reikėti įvesti sudėtingus logaritmus.

Sudėtingi logaritmai turi šuolio nenutrūkstamumą, kai argumentas kerta neigiamą tikrąją ašį, o integravimo algoritmai kartais negali rasti reprezentacijos, kur šie šuoliai atšaukia..

Jei neabejotinas integralas įvertinamas pirmiausia apskaičiuojant neribotą integralą, o tada į rezultatą pakeičiant integracijos ribas, turime žinoti, kad neterminuota integracija gali sukelti netolygumus. Jei tai atsitiks, papildomai turime ištirti integracijos intervalo netolygumus.