Skirtumas tarp racionalių ir iracionalių skaičių

Sąvoka „skaičiai“ atneša į galvą tai, kas paprastai klasifikuojama kaip teigiami sveikieji skaičiai, didesni už nulį. Į kitas klasių klases įeina Sveiki skaičiai ir frakcijos, sudėtingas ir realieji skaičiai ir taip pat neigiamos sveikosios vertės.

Toliau pratęsdami skaičių klasifikaciją, susiduriame racionalus ir neracionalus skaičiai. Racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima parašyti trupmena. Kitaip tariant, racionalusis skaičius gali būti parašytas kaip dviejų skaičių santykis.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, skaičių 6. Jis gali būti parašytas kaip dviejų skaičių santykis. 6 ir 1, vedanti į santykį 6/1. taip pat, 2/3, kuris rašomas kaip trupmena, yra racionalus skaičius.

Taigi racionalųjį skaičių galime apibrėžti kaip trupmenos pavidalo skaičių, kuriame tiek skaitiklis (skaičius viršuje), tiek vardiklis (skaičius apačioje) yra sveikieji skaičiai. Taigi pagal apibrėžimą kiekvienas sveikas skaičius taip pat yra racionalus skaičius.

Dviejų didelių skaičių, tokių kaip (129 367 871)/(547 724 863) taip pat būtų racionalaus skaičiaus pavyzdys dėl paprastos priežasties, kad tiek skaitiklis, tiek vardiklis yra sveikieji skaičiai.

Ir atvirkščiai, bet kuris skaičius, kurio negalima išreikšti trupmenos ar santykio forma, yra vadinamas iracionaliu. Dažniausiai cituojamas neracionalaus skaičiaus pavyzdys √2 (1.414213…). Kitas populiarus neracionalaus skaičiaus pavyzdys yra skaitinė konstanta π (3.141592… ).

Neracionalus skaičius gali būti parašytas kaip dešimtainis, bet ne kaip trupmena. Neracionalūs skaičiai nėra dažnai naudojami kasdieniame gyvenime, nors jie yra skaičių eilutėje. Tarp yra begalinis skaičius iracionalių skaičių 0 ir 1 skaičių eilutėje. Iracionalus skaičius turi begalę nesikartojančių skaitmenų dešimtosios dalies po kablelio tikslumu.

Atminkite, kad dažnai minima vertė 22/7 už pastovumą π iš tikrųjų yra tik viena iš vertybių π. Pagal apibrėžimą apskritimo apskritimas, padalytas iš jo spindulio dvigubai, yra π reikšmė. Tai lemia kelias reikšmes: π, įskaitant, bet neapsiribojant, 333/106, 355/113 ir tt1.

Tik kvadratinių skaičių šaknys; y., kvadratinės šaknys tobuli kvadratai yra racionalūs.

√1= 1 (Racionalus)

√2 (Neracionalus)

√3 (Neracionalus)

√4 = 2 (Racionalus)

√5, √6, √7, √8 (Neracionalus)

√9 = 3 (Racionalus) ir pan.

Be to, pažymime, kad tik ntūkstantmečio šaknys nth galios yra racionalios. Taigi 6-asis šaknis 64 yra racionalus, nes 64 yra 6-asis galia, būtent 6-asis isjungti 2. Bet 6-asis šaknis 63 yra neracionalus. 63 nėra tobulas 6tūkst galia.

Neišvengiamai dešimtainiai iracionaliųjų vaizdai pateikiami paveikslėlyje ir duoda įdomių rezultatų.

Kai mes išreiškiame a racionalus skaičių kaip dešimtųjų skaičių, tada arba dešimtainis skaičius bus tikslus (kaip 1/5= 0,20) ar taip bus netikslus (kaip, 1/3 ≈ 0,3333). Bet kuriuo atveju bus nuspėjamas skaitmenų raštas. Atminkite, kad kai neracionalus skaičius išreiškiamas dešimtųjų tikslumu, tada aiškiai jis netikslus, nes kitaip skaičius būtų racionalus.

Be to, nebus nuspėjamo skaitmenų modelio. Pavyzdžiui,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Dabar su racionaliais skaičiais retkarčiais susiduriame 1/11 = 0,0909090.

Abu lygybės ženklo (=) ir trys taškai (elipsė) reiškia, kad nors to neįmanoma išreikšti 1/11 tiksliai kaip dešimtainė, mes vis tiek galime ją apytiksliai suderinti su tiek skaitmenų po kablelio, kiek leidžiama priartinti 1/11.

Taigi, dešimtainė forma 1/11 laikomas netiksliu. Be to, dešimtainė forma  ¼ kuris yra 0,25, yra tikslus.

Neracionalių skaičių dešimtainė forma bus visada netiksli. Tęsiame pavyzdį √2, kai rašome √2 = 1,41421356237... (atkreipkite dėmesį į elipsės naudojimą), tai iš karto reiškia, kad po kablelio nėra dešimtainės √2 bus tikslus. Be to, nebus nuspėjamo skaitmenų modelio. Taikydami skaitinių metodų sąvokas, mes galime racionaliai apytiksliai apskaičiuoti tiek dešimtainių skaitmenų, kiek yra iki taško, kad esame arti √2.

Bet kokia pastaba apie racionalius ir neracionalius skaičius negali pasibaigti be privalomų įrodymų, kodėl √2 yra neracionalus. Tai darydami mes išsiaiškinsime ir klasikinį a pavyzdį įrodymas tęsiniuradiacija.

Tarkime, √2 yra racionalus. Tai verčia mus tai pasakyti kaip dviejų skaičių, tarkime, santykį p ir q.

√2 = p / q

nereikia nė sakyti, p ir q neturime bendrų veiksnių, nes jei būtų buvę bendrų veiksnių, mes juos būtume pašalinę iš skaitiklio ir vardiklio.

Suardę abi lygties puses, mes galų gale susidursime,

2 = p2 / q2

Tai gali būti patogiai parašyta kaip,

p2 = 2q2

Paskutinė lygtis rodo, kad p2 yra net. Tai įmanoma tik tuo atveju p pati yra net. Tai savo ruožtu suponuoja tai p2 dalijamas iš 4. Vadinasi, q2 ir atitinkamai q turi būti lygus. Taigi p ir q abu yra net ir tai yra prieštaravimas mūsų pradinei prielaidai, kad jie neturi bendrų veiksnių. Taigi, √2 negali būti racionalus. Q.E.D.