Skirtumas tarp išvestinių ir diferencinių

Išvestinė vs diferencialas
 

Skirtinguose skaičiavimuose funkcijos išvestinė ir diferencialas yra glaudžiai susiję, tačiau turi labai skirtingas reikšmes ir yra naudojami dviem svarbiems matematiniams objektams, susijusiems su diferencijuojamomis funkcijomis, pavaizduoti..

Kas yra išvestinė?

Funkcijos darinys išmatuoja greitį, kuriuo keičiasi funkcijos vertė, kai keičiasi jos įvestis. Kelių kintamųjų funkcijose funkcijos vertės pokytis priklauso nuo nepriklausomų kintamųjų verčių pokyčių krypties. Todėl tokiais atvejais pasirenkama konkreti kryptis ir diferencijuojama funkcija ta kryptimi. Tas darinys vadinamas kryptiniu dariniu. Daliniai dariniai yra ypatinga kryptinių darinių rūšis.

Vektorinės vertės funkcijos išvestinė f gali būti apibrėžta kaip riba kad ir kur jis egzistuotų iki galo. Kaip minėta anksčiau, tai suteikia mums funkcijos padidėjimo greitį f išilgai vektoriaus krypties u. Vienos vertės funkcijos atveju tai sumažina iki gerai žinomo išvestinio apibrėžimo,  

Pavyzdžiui, yra visur diferencijuojamas, o darinys lygus ribai, , kuri lygi . Tokių funkcijų kaip   egzistuoja visur. Jie atitinkamai yra lygūs funkcijoms .                                                                                

Tai žinoma kaip pirmasis darinys. Paprastai pirmasis funkcijos darinys f žymimas f ⁽¹⁾. Dabar naudojant šią žymėjimą galima apibrėžti aukštesnės eilės darinius. yra antros eilės kryptinis darinys, žymintis n^tūkst išvestinis f ⁽ⁿ⁾ kiekvienam n, ,  apibrėžia n^tūkst darinys.

Kas yra diferencialas?

Funkcijos diferencialas parodo funkcijos pokytį atsižvelgiant į nepriklausomo kintamojo ar kintamųjų pokyčius. Pagal įprastą žymėjimą tam tikrai funkcijai f vieno kintamojo x, bendras 1 eilės skirtumas df yra pateiktas, . Tai reiškia, kad x(t. y. dx), bus a  f ⁽¹⁾(x) dx pasikeisti f.

Naudojant ribas, šią apibrėžtį galima gauti taip. Tarkime ∆x yra pokytis x savavališkame taške x ir ∆f yra atitinkamas funkcijos pokytis f. Galima parodyti, kad ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, kur ϵ yra klaida. Dabar riba ∆x →0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (naudojant anksčiau pateiktą darinio apibrėžimą) ir, ∆x →0^ϵ/_∆x= 0. Todėl galima daryti išvadą, kad ∆x →0ϵ = 0. Dabar žymime ∆x →0 ∆f kaip df ir ∆x →0 ∆x kaip dx griežtai gaunamas diferencialo apibrėžimas. 

Pavyzdžiui, funkcijos diferencialas yra .

Dviejų ar daugiau kintamųjų funkcijų atveju bendras funkcijos skirtumas yra apibrėžiamas kaip diferencialo suma kiekvieno nepriklausomo kintamojo kryptimi. Matematiškai tai galima teigti kaip .