Skirtumas tarp integracijos ir apibendrinimo

Integracija vs apibendrinimas
 

Aukštosios mokyklos matematikoje integracija ir apibendrinimas dažnai būna atliekant matematines operacijas. Atrodo, kad jie naudojami kaip skirtingi įrankiai ir skirtingose ​​situacijose, tačiau juos sieja labai artimi santykiai.

Daugiau apie apibendrinimą

Apibendrinimas yra skaičių sekos pridėjimo operacija ir operacija dažnai žymima graikiška didžiosios raidės sigma Σ. Jis naudojamas sutrumpinti sumavimą ir lygų sekos sumai / sumai. Jie dažnai naudojami vaizduojant eiles, kurios iš esmės yra begalinės sekos, apibendrintos. Jie taip pat gali būti naudojami vektorių, matricų ar polinomų sumai nurodyti.

Apibendrinimas paprastai atliekamas verčių diapazonui, kurį galima apibūdinti bendru terminu, pavyzdžiui, eilutei, turinčiai bendrą terminą. Summacijos pradžios ir pabaigos taškai yra atitinkamai žinomi kaip sumavimo apatinė ir viršutinė ribos.

Pavyzdžiui, sekos a suma₁, a₂, a₃, a₄, …, A_n yra₁ + a₂ + a₃ +... + a_n kuriuos galima lengvai pavaizduoti naudojant apibendrinamąją žymę kaip ∑ⁿ_{i = 1} a_i; i vadinamas sumos indeksu.

Remiantis programa, apibendrinimui naudojama daug variantų. Kai kuriais atvejais viršutinė ir apatinė ribos gali būti nurodytos kaip intervalas arba intervalas, pavyzdžiui, ∑_1≤i≤100 a_i ir ∑_{i∈ [1100]} a_i. Arba jis gali būti pateiktas kaip skaičių rinkinys, pvz., ∑_i∈P a_i , kur P yra apibrėžtas rinkinys.

Kai kuriais atvejais gali būti naudojami du ar daugiau sigma ženklų, tačiau juos galima apibendrinti taip; ∑_j ∑_k a_jk = ∑_{j, k} a_jk.

Taip pat apibendrinant laikomasi daugelio algebrinių taisyklių. Kadangi įterptasis veiksmas yra papildymas, daugelis bendrųjų algebros taisyklių gali būti taikomos pačioms sumoms ir atskiriems terminams, vaizduojamiems apibendrinant..

Daugiau apie integraciją

Integracija apibrėžiama kaip atvirkštinis diferenciacijos procesas. Bet geometriniu požiūriu tai taip pat gali būti laikoma plotu, kurį uždaro funkcijos kreivė ir ašis. Todėl apskaičiuojant plotą gaunama apibrėžto integralo vertė, kaip parodyta diagramoje.

Vaizdo šaltinis: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Neabejotino integralo vertė iš tikrųjų yra mažų juostelių, esančių kreivės ir ašies viduje, suma. Kiekvienos juostelės plotas yra aukštis × plotis nagrinėjamos ašies taške. Plotis yra vertė, kurią galime pasirinkti, tarkime ∆x. Tarkime, aukštis yra apytiksliai funkcijos vertė nagrinėjamame taške f(x_i). Iš diagramos matyti, kad kuo mažesnės juostelės, tuo geriau juostelės telpa apribotoje srityje, taigi geriau apytiksliai suderinkite vertę..

Taigi, apskritai neabejotinas integralas Aš, tarp taškų a ir b (t. y. intervale [a, b], kur aAš ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, kur n yra juostelių skaičius (n = (b-a) / ∆x). Šis srities apibendrinimas gali būti lengvai pavaizduotas naudojant apibendrinimo žymėjimą kaip Aš ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x. Kadangi aproksimacija yra geresnė, kai ∆x yra mažesnė, galime apskaičiuoti reikšmę, kai ∆x → 0. Todėl pagrįstai galima sakyti Aš = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x.

Kaip apibendrinimą iš aukščiau pateiktos sąvokos galime pasirinkti ∆x pagal nagrinėjamą intervalą, indeksuotą i (pasirenkant ploto plotį pagal padėtį). Tada mes gauname

Aš= lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_i) ∆x_i = _a∫^b f(x) dx

Tai vadinama funkcijos Reimann integralu f(x) intervale [a, b]. Šiuo atveju a ir b yra žinomos kaip integralo viršutinė ir apatinė ribos. Reimanno integralas yra pagrindinė visų integracijos metodų forma.

Iš esmės integracija yra srities sumavimas, kai stačiakampio plotis yra be galo mažas.

Kuo skiriasi integracija ir apibendrinimas??

• Apibendrinimas yra skaičių sekos sudėjimas. Paprastai apibendrinimas pateikiamas šia forma ∑ⁿ_{i = 1} a_i kai sekos terminai turi modelį ir gali būti išreikšti vartojant bendrąjį terminą.

• Integracija iš esmės yra sritis, kurią riboja funkcijos kreivė, ašis ir viršutinė bei apatinė ribos. Ši sritis gali būti pateikta kaip daug mažesnių plotų, įtrauktų į apribotą plotą, suma.

• Apibendrinimas apima atskiras vertes su viršutine ir apatine ribomis, o integracija apima ištisines vertes.

• Integracija gali būti suprantama kaip speciali apibendrinimo forma.

• Skaitinio skaičiavimo metoduose integracija visada atliekama kaip sumavimas.