Skirtumas tarp Laplaso ir Furjė transformacijų

Laplaso ir Furjė transformacijos
 

Tiek Laplaso, tiek Furjė transformacijos yra neatsiejamos transformacijos, kurios dažniausiai naudojamos kaip matematiniai metodai matematiškai modeliuotoms fizinėms sistemoms spręsti. Procesas yra paprastas. Sudėtingas matematinis modelis paverčiamas paprastesniu, išsprendžiamu modeliu, naudojant integruotą transformaciją. Išsprendus paprastesnį modelį, taikoma atvirkštinė integralo transformacija, kuri pateiktų pirminio modelio sprendimą.

Pavyzdžiui, kadangi dauguma fizinių sistemų sukuria diferencialines lygtis, jas galima paversti algebrinėmis lygtimis arba žemesnio laipsnio lengvai išsprendžiamomis diferencialinėmis lygtimis, naudojant vientisą transformaciją. Tada išspręsti problemą bus lengviau.

Kas yra Laplaso transformacija?

Suteikta funkcija f (t) tikrojo kintamojo t, jo Laplaso transformaciją nusako integralas (kai jis egzistuoja), kuris yra sudėtingo kintamojo funkcija s. Paprastai tai žymima L f (t). Funkcijos atvirkštinė Laplaso transformacija F(s) laikoma funkcija f (t) tokiu būdu, kad L f (t) = F(s), o įprastu matematiniu žymėjimu rašome L ^-1F(s) = f (t).Atvirkštinė transformacija gali būti unikali, jei neleidžiamos nulinės funkcijos. Galima juos atpažinti kaip linijinius operatorius, apibrėžtus funkcijos erdvėje. Taip pat lengva pastebėti, kad L ^-1L f (t) = f (t), jei neleidžiamos nulinės funkcijos.

Šioje lentelėje pateikiamos kai kurių labiausiai paplitusių funkcijų Laplaso transformacijos.

Kas yra Furjė transformacija?

Suteikta funkcija f (t) tikrojo kintamojo t, jo Laplaso transformaciją nusako integralas (kai jis egzistuoja) ir paprastai žymimas F f (t). Atvirkštinė transformacija F ^-1F(α) suteikia integralas . Furjė transformacija taip pat yra tiesinė ir gali būti laikoma operatoriumi, apibrėžtu funkcijos erdvėje.

Naudojant Furjė transformaciją, originalią funkciją galima užrašyti taip, kad funkcija turi tik ribotą skaičių nepertraukimų ir yra absoliučiai integruota.

Kuo skiriasi Laplaso ir Furjė transformacijos??

• Furjė funkcijos transformacija f (t) yra apibrėžiamas kaip , kadangi apibrėžta, kad tai yra laplaso transformacija .
• Furjė transformacija apibrėžiama tik funkcijoms, apibrėžtoms visiems realiesiems skaičiams, tuo tarpu Laplaso transformacijai nereikia, kad funkcija būtų apibrėžta nustatant neigiamus realiuosius skaičius..
• Furjė transformacija yra ypatingas Laplaso transformacijos atvejis. Galima pastebėti, kad abu neigiami realieji skaičiai sutampa. (t.y. imk s Laplasoje būti iα + β kur α ir β yra tikros tokios e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Kiekviena funkcija, turinti Furjė transformaciją, turės Laplaso transformaciją, bet ne atvirkščiai.