Atsitiktinių kintamųjų ir tikimybių pasiskirstymo skirtumas

Atsitiktiniai kintamieji ir tikimybių pasiskirstymas

Statistiniai eksperimentai yra atsitiktiniai eksperimentai, kuriuos galima pakartoti neribotą laiką su žinoma rezultatų grupe. Su tokiais eksperimentais yra susiję tiek atsitiktiniai kintamieji, tiek tikimybių pasiskirstymas. Kiekvienam atsitiktiniam kintamajam yra susijęs tikimybės pasiskirstymas, apibrėžtas funkcija, vadinama kaupiamąja paskirstymo funkcija.

Kas yra atsitiktinis kintamasis?

Atsitiktinis kintamasis yra funkcija, priskirianti skaitines reikšmes statistinio eksperimento rezultatams. Kitaip tariant, tai yra funkcija, apibrėžta iš statistinio eksperimento imties vietos į realiųjų skaičių aibę.

Pavyzdžiui, apsvarstykite atsitiktinį eksperimentą, kaip du kartus apversti monetą. Galimi rezultatai yra HH, HT, TH ir TT (H - galvos, T - pasakos). Tegul kintamasis X yra eksperimente stebimų galvučių skaičius. Tada X gali paimti reikšmes 0, 1 arba 2, ir tai yra atsitiktinis kintamasis. Čia atsitiktinis kintamasis X nubraižys aibę S = HH, HT, TH, TT (mėginio vieta) į aibę 0, 1, 2 taip, kad HH būtų priskirta 2, HT ir TH. yra pažymėtos 1 ir TT yra 0. Funkcijų žymėjime tai gali būti parašyta taip: X: S → R kur X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ir X ( TT) = 0.

Yra du atsitiktinių kintamųjų tipai: diskreti ir nuolatinė, todėl galimų reikšmių, kurias atsitiktinis kintamasis gali manyti, skaičius yra daugiausiai skaičiuojamas arba neskaičiuojamas. Ankstesniame pavyzdyje atsitiktinis kintamasis X yra diskretusis atsitiktinis kintamasis, nes 0, 1, 2 yra baigtinė aibė. Dabar apsvarstykite statistinį eksperimentą, kaip surasti klasės mokinių svorius. Tegul Y yra atsitiktinis kintamasis, apibrėžtas kaip studento svoris. Y gali perimti bet kurią realią vertę per tam tikrą intervalą. Taigi Y yra ištisinis atsitiktinis kintamasis.

Koks yra tikimybės pasiskirstymas?

Tikimybių pasiskirstymas yra funkcija, apibūdinanti atsitiktinio kintamojo, paimančio tam tikras reikšmes, tikimybę.

Funkciją, vadinamą kaupiamąja paskirstymo funkcija (F), galima apibrėžti nuo realiųjų skaičių aibės iki realiųjų skaičių aibės taip: F ​​(x) = P (X ≤ x) (X tikimybė yra mažesnė arba lygi x) kiekvienas galimas rezultatas x. Pirmąjį pavyzdį X kaupiamoji X paskirstymo funkcija gali būti parašyta kaip F (a) = 0, jei a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Atskirų atsitiktinių kintamųjų atveju funkciją galima apibrėžti nuo galimų rezultatų aibės iki realiųjų skaičių aibės taip, kad ƒ (x) = P (X = x) (X tikimybė yra lygi x) už kiekvieną galimą rezultatą x. Ši konkreti funkcija ƒ yra vadinama atsitiktinio kintamojo X tikimybinės masės funkcija. Dabar X tikimybės masės funkciją pirmame konkrečiame pavyzdyje galima užrašyti kaip ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2). = 0,25, o ƒ (x) = 0 kitaip. Taigi tikimybės masės funkcija kartu su kaupiamąja paskirstymo funkcija aprašys X tikimybės pasiskirstymą pirmajame pavyzdyje.

Ištisinių atsitiktinių kintamųjų atveju funkciją, vadinamą tikimybės tankio funkcija (ƒ), galima apibrėžti kaip ƒ (x) = dF (x) / dx kiekvienam x, kur F yra nuolatinio atsitiktinio kintamojo kaupiamoji funkcija. Nesunku pastebėti, kad ši funkcija tenkina ∫ƒ (x) dx = 1. Tikimybės tankio funkcija kartu su kaupiamąja paskirstymo funkcija apibūdina nenutrūkstamo atsitiktinio kintamojo tikimybės pasiskirstymą. Pavyzdžiui, normalusis pasiskirstymas (kuris yra ištisinis tikimybės pasiskirstymas) apibūdinamas naudojant tikimybės tankio funkciją ƒ (x) = 1 / √ (2πσ).²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).