Skirtumas tarp Riemann integralo ir Lebesgue integralo

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integracija yra pagrindinė skaičiavimo tema. Plačiąja prasme integracija gali būti vertinama kaip atvirkštinis diferenciacijos procesas. Modeliuojant realaus pasaulio problemas, lengva parašyti išraiškas, susijusias su dariniais. Esant tokiai situacijai, norint rasti funkciją, kuri suteikė konkretų darinį, reikia integracijos operacijos.

Kitu aspektu integracija yra procesas, kuris susumuoja funkcijos ƒ (x) ir δx, kur δx linkęs būti tam tikra riba, sandauga. Štai kodėl mes naudojame integracijos simbolį kaip ∫. Simbolis ∫ iš tikrųjų yra tas, kurį gauname ištempdami raides s, kad nurodytume sumą.

Riemann integralas

Apsvarstykite funkciją y = ƒ (x). Y integralas tarp a ir b, kur a ir b priklausyti aibei x, rašoma kaip _b∫^aƒ (x) dx = [F(x)]_a→b = F(b) - F(a). Tai vadinama apibrėžtosios vientisos ir tęstinės funkcijos y = ƒ (x) tarp a ir b integralu. Taip gaunamas plotas po kreive tarp a ir b. Tai taip pat vadinama Riemann integral. Riemann integralą sukūrė Bernhardas Riemann. Nuolatinės funkcijos Riemann integralas yra pagrįstas Jordanijos matavimu, todėl jis taip pat apibrėžiamas kaip funkcijos Riemann sumų riba. Realiai vertinamai funkcijai, apibrėžtai uždaru intervalu, funkcijos Riemann integralas skaidinio x atžvilgiu₁, x₂,…, X_n apibrėžti intervalais [a, b] ir t₁, t₂,…, T_n, kur x_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1} kiekvienam i ε 1, 2,…, n Riemann suma apibrėžiama kaip Σ_{i = o iki n-1} ƒ (t_i) (x_{i + 1} - x_i).

„Lebesgue Integral“

Lebesgue yra dar viena integralo rūšis, apimanti daugybę įvairių atvejų, nei tai daro Riemann integralas. Lebesgue integralas buvo įvestas Henri Lebesgue 1902 m. Legesgue integracija gali būti laikoma Riemann integracijos apibendrinimu..

Kodėl mums reikia studijuoti kitą integralą?

Panagrinėkime būdingą funkciją ƒ_{A (x) = 0 jei, x ne ε A}^{1, jei, x ε A} ant rinkinio A. Tada baigtinis linijinis būdingų funkcijų derinys, kuris apibūdinamas kaip F(x) = Σ a_iƒE_i(x) yra vadinama paprasta funkcija, jei E_i yra išmatuojamas kiekvienai i. Lebesgue integralas F(x) per E žymimas _E∫ ƒ (x) dx. Funkcija F(x) nėra integruotas Riemann. Todėl Lebesgue integralas yra perfrazuotas Riemann integralas, kuris turi keletą apribojimų integruotoms funkcijoms.