Skirtumas tarp asociatyvaus ir komutacinio

Asociatyvus ir komutacinis
 

Kasdieniniame gyvenime mes turime naudoti skaičius, kai tik turime ką nors įvertinti. Maisto prekių parduotuvėje, degalinėje ir net virtuvėje turime sudėti, atimti ir padauginti du ar daugiau kiekių. Remdamiesi savo praktika, šiuos skaičiavimus atliekame gana lengvai. Mes niekada nepastebime ir nekvestionuojame, kodėl šias operacijas darome būtent taip. Arba kodėl šių skaičiavimų negalima atlikti kitaip. Atsakymas yra paslėptas taip, kaip šios operacijos yra apibrėžtos matematiniame algebros lauke.

Algebra operacija, apimanti du dydžius (pvz., Sudėjimą), yra apibrėžiama kaip dvejetainė operacija. Tiksliau, tai yra operacija tarp dviejų elementų iš rinkinio ir šie elementai yra vadinami operandu. Daugelį matematikos operacijų, įskaitant anksčiau minėtas aritmetines operacijas, ir tas, kurios buvo patirtos rinkinio teorijoje, tiesinę algebrą ir matematinę logiką, galima apibrėžti kaip dvejetaines operacijas..

Yra tam tikrų dvejetainių operacijų valdymo taisyklių rinkinys. Asociacinės ir komutacinės savybės yra dvi pagrindinės dvejetainių operacijų savybės.

Daugiau apie komutacinį turtą

Tarkime, kad elementams atliekama dvejetainė operacija, žymima simboliu ⊗ A ir B. Jei operandų tvarka neturi įtakos operacijos rezultatui, tada sakoma, kad operacija yra komutacinė. y., jei A ⊗ B = B ⊗ A tada operacija yra komutacinė.

Aritmetinių operacijų sudėjimas ir daugyba yra komutaciniai. Skaičių, sudėtų ar padaugintų iš eilės, tvarka neturi įtakos galutiniam atsakymui:

A + B = B + A     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Bet padalijimo atveju tvarkos pakeitimas suteikia kito grįžtamąjį ryšį, o atimant pakeitimas duoda kito neigiamą. Todėl,

A - B ≠ B - A     ⇒ 4 - 5 = -1 ir 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 ir 5 ÷ 4 = 1,25 [šiuo atveju A,B And 1 ir 0]

Iš tikrųjų sakoma, kad atėmimas yra antikomutacinis; kur A - B = - (B - A).

Taip pat komutaciniai yra loginiai jungiamieji elementai, jungimas, disjunkcija, implikacija ir ekvivalentiškumas. Tiesos funkcijos taip pat yra komutacinės. Nustatyta operacijų sąjunga ir sankryža yra komutacinės. Vektorių pridėjimas ir skaliarinis sandauga taip pat yra komutaciniai.

Bet vektoriaus atėmimas ir vektoriaus produktas nėra komutacinis (dviejų vektorių vektorinis produktas yra antikomutacinis). Matricos sudėjimas yra komutacinis, tačiau daugyba ir atimtis nėra komutaciniai. (Dviejų matricų dauginimas gali būti komutacinis ypatingais atvejais, tokiais kaip matricos padauginimas iš jos atvirkštinės arba tapatumo matricos; tačiau matricos tikrai nėra komutacinės, jei matricos nėra tokio paties dydžio)

Daugiau apie asociacinį turtą

Dvejetainė operacija yra asociatyvi, jei vykdymo tvarka nedaro įtakos rezultatui, kai yra du ar daugiau operatoriaus įvykių. Apsvarstykite elementus A, B ir C ir dvejetainė operacija ⊗. Sakoma, kad operacija ⊗ yra asociatyvi, jei

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

Iš pagrindinių aritmetinių funkcijų tik sudėjimas ir daugyba yra asociatyvūs.

A + (B + C) = (A + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Atimtis ir dalijimas nėra asociatyvūs;

A - (B - C) ≠ (A - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 ir (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 ir (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Loginis jungiamųjų jungimas, jungimas ir ekvivalencija yra asociatyvūs, kaip ir nustatyta operacijų sąjunga ir sankirta. Matrica ir vektorių pridėjimas yra asociatyvūs. Skaliarinis vektorių sandauga yra asociatyvus, bet vektoriaus produktas nėra. Matricos dauginimas yra asociatyvus tik esant ypatingoms aplinkybėms.

Kuo skiriasi komutacinis ir asociatyvus turtas?

• Tiek asociacinė, tiek komutacinė savybės yra ypatingos dvejetainių operacijų savybės, ir kai kurios jas tenkina, o kitos ne..

• Šios savybės gali būti vertinamos įvairių formų algebrinėse operacijose ir kitose dvejetainėse matematikos operacijose, tokiose kaip sankirta ir sąjunga rinkinio teorijoje arba loginiai jungiamieji elementai..

• Skirtumas tarp komutacinės ir asociatyvios yra tas, kad komutacinė savybė teigia, kad elementų tvarka nekeičia galutinio rezultato, o asociatyvinė savybė nurodo, kad operacijos atlikimo tvarka neturi įtakos galutiniam atsakymui..